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1 年 6 个月 前 #3388 YHZhang
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世界的源头:神奇的零(上)

引子

大家好,我是吉祥。祝大家新年快乐,吉祥如意,福报智慧越来越增上圆满。我有一个“吉祥”的昵称(假名), “吉祥”祝吉祥,希望是个吉祥的好兆头。

今天是新年第一个月也叫神变月的上弦月。从初一到十五,月亮从一个小月牙儿逐渐长成一轮圆月。因此,这段日子在一年中最阳光,孕育着希望,孕育着春天的气息。我们在神变月的上弦月里,许下一些吉祥的愿望,对自己和家人,对方方面面,都会有一个吉祥的缘起。

那么最好的愿望是什么呢?当然,家人幸福平安,身体健康,这些肯定很重要。此外,我们应该发愿做一个贤善之人,也就是善良宽厚,性格好,稳重有智慧的人。过一种高尚清净的生活。如今,大家都很讲究风水。古人说,真正的风水是人心,没有比贤善的人格更吉祥的风水了。以前,范仲淹给祖坟找地,有人推荐了一块地,请风水先生来看,却是一块凶地。范仲淹却毅然买下来,他的心思是,我既然遇到了,就不能让它去害其他人。他有这样一个仁慈之心,结果他一家三代为相,后代贤人辈出,几乎是曲阜孔氏之外最受尊敬的家族。

今天的话题,叫做“世界的源头:神奇的零”。

我们的老祖宗非常讲究万物的肇始,在佛法里也可以叫做缘起。所谓万里之行始于足下,这个最开始的地方,决定了你未来的方向。又所谓差之毫厘,谬以千里。最开始的细小差别它不一定能看出来,但是你的选择如果对了的话,十年以后回头看,其间的差别却非常非常大。

你看一年中间,从万籁俱寂的冬天,开始孕育春天的气息。然后经历了夏天的繁荣茂盛,来到枯黄叶落的秋天。最后回到冬天,重新归于枯寂。这是一年的周而复始。

在这样的周而复始中,我们从一个啼哭的婴儿,渐渐成人,渐渐老去,直到有一天重新归零。这是生命的周而复始。于此同时,我们的心,也有一个从童真到成熟到归零的周期,这期间有时候会变得很浑浊,但也有时候会返璞归真。

其实我们的每一天,也是一个新的周而复始。我们从睡梦中醒来,开始新的忙碌奔波,当一天的尘埃全部落定之后,就又回到梦中。

每一次的周而复始,都有一个新的肇始,都是一次新的选择。顺还是逆,向上还是向下,高尚还是平庸甚至卑劣,取决于我们自己的抉择。我们这一生很幸运,幸而为人,和只知道寻找食物的动物不一样,我们除了谋求衣食,还会思考,可以寻求智慧,寻求生命的价值,能够为别人带来快乐,带来开心,带来幸福感。所以,我们应该利用好每一个新的肇始。

那么,最吉祥的肇始是什么呢?我想,就是两件事:一个是善良的心;一个是智慧。酱紫的话,我们的这一生就充满意义,有一种恒常的幸福感。

回到我们今天的主题,世界的源头。

这次的讲座比较重要。首先。它的独创性超过了之前的总和。其次,它就像一个背景,一个总纲或脉络,循着它,我们就可以理解其他的所有星星点点那些有趣的知识。

在前几次讲座中,我们从爱因斯坦聊到神奇的不败尊者。从极具个性的基努里维斯聊到黑客帝国和虚拟科技,以及它们背后的秘密。从电影“机器姬”聊到人工智能阿尔法狗,聊到一些比较专业的知识,比如BP算法,深度学习,神经网络等等。我们还从范仲淹聊到儒家文化的传承等等。

所有这些,就像一颗颗璀璨的水晶珠子,散落在我们讲坛的各个角落。我们就像孩子在海边捡贝壳,拣起一个把玩一阵,扔掉,再捡起一个,再扔掉。这样子的话,我总觉得还少了一点什么。到底少了什么呢?是一根线!一根看不见的有魔力的线。有了这根线,散落在地上的这些璀璨的水晶珠子,就会神奇地串起来,成了一串水晶念珠。

所以,我们还得去寻找这根线。那这根线是什么呢?就是神奇的数字“零”,它是世界的源头,也是我们今天的话题。因此,今天的故事,就从数学开始。

1.

越是深奥的内容,越是会回到源头上。越是源头上的东西,也就越简单。所以,越是简单的东西,越深奥。无论多么复杂的世界,多么复杂的现象,最后它都要回到那个最简单最深奥的源头上。

有一个现象很能说明这一点。比如,今天,我们完全离不开计算机。计算机带来的科技前景,完全超越了想象力。人们甚至在谈论它会不会有一天创造出一个人类的大脑,或是彻底取代人的大脑。就是这个无限复杂,给人无限想象的计算机,它的源头是什么呢?他就是0和1这两个数字。从零和1出发,今天最前沿最热门的科技话题,像大数据,人工智能,认知科学,等等,都可以回归到这两个简单的数字上。

自然科学同样如此。

自然科学的领域林林总总,但大道至简,最核心的就是两个:一个是物理学,一个是数学。两者之中,数学又是核心的核心。

为什么呢?因为自然科学的灵魂就是逻辑理性和实证。数学就是逻辑理性的化身,而物理学就是数学在现象世界的实证。其他分支,都可以视作从这两支衍生出来的。

因此,很多伟大的科学家,都是一个非常棒的数学家。比如牛顿,他是经典物理学的泰山北斗,但他同时还发明了微积分。同时,几乎所有伟大的自然科学成就,都是从数学出发。比如,爱因斯坦的相对论,就是从黎曼几何开始出发的。

在人文史上,数学同样极其重要。事实上,无论东方还是西方,在传统文化的源头上,数学,哲学,宗教,这三者很难分得开。

西方文明的源头是古希腊。古希腊最著名的数学家毕达哥拉斯,同时也是一个著名的哲学家和宗教家。他创立了一个数学学派,把数学变成了一种信仰。他们相信,世界的奥秘都藏在数学里,而整个宇宙的和谐和人生的幸福,都建立在数的和谐上。毕达哥拉斯和他的弟子流传下来很多精彩有趣的故事,但今天暂时不谈。

东方文明,最璀璨的,一个是古印度文明,一个是华夏文明。

印度人很特别,也许是气候炎热的缘故,他们不喜欢工作,不喜欢打打杀杀,也不太擅长尔虞我诈。他们最喜欢的,是坐在清凉的树林中或是恒河边,要么禅修,要么辩论,总之就是想一些遥远的事情。因此,在印度这片神奇的土地上,涌现了很多了不起的思想家。

早在佛陀出世之前,印度就有至少72个非常著名的宗派。这些宗派中,见解和境界最高的叫做数论派。它的祖师依靠禅定创立了这个宗派。在古印度,取名字很有讲究。从数论派的名字可以望文生义,这个宗派的见解和数字中隐含的奥秘有种冥冥中的默契。(数论派的影响非常深远。佛陀悟道之前,离开王宫去修行,曾经依止过两个禅定境界非常高的老师,这两个老师都是数论派的祖师。但佛陀很快发现,他们只有禅定,没有智慧,因此离开了他们,依靠自己的力量而修行觉悟。)

最后,回头来看看我们自己的传统文化。

在中国传统文化的源头上,有三本书影响最深远:一个是论语,一个是老子,还有一个是易经。其中,易经又可以算是源头的源头。老子是周王的图书馆长,遍揽天下奇书,他的思想明显是从易经中脱胎而来。孔子悲天悯人,有大菩萨的入世情怀。在那个“礼崩乐坏”的时代,他五十岁以前大半辈子的光阴,都用来重塑世间道德行为准则和贤善的人格。然而到了晚年,他才真正崭露自己的修学境界。据说,他四十九岁遇到奇人,开始醉心于易经,读易经“韦编三绝”,创作了著名的“十翼”,也就是阐述易经奥妙的十种论典。其中,“系辞”的影响最为深远。当他回顾一生的时候,孔子感慨说,自己四十岁的时候就已经对世间的人情世故和学问做到“不惑”,可直到五十岁(遇到易经之后),才真正知天命。他还说:

那易经是一本什么书呢?是一本用数字来卜卦的书。借助于数字中隐含的奥秘,易经洞透了宇宙天地种种奇幻无穷的变化。易经的英文名是“the book of changes”。我想,如果给易经另起一个绰号的话,应该叫“the book of numbers(数经)”。

数字的奥秘和中国传统文化的渊源,只要有一点小学常识的人都知道。比如,老子最著名也是最意味深长的一句话是:“道生一,一生二,二生三,三生万物。”

再比如,孔子在易经的“系辞”中说:“是故易有太极,太极有两仪,两仪生四象,四象生八卦,八卦定吉凶,吉凶生大业。”这意思和老子不谋而合。只不过,老子是以“三”生万物,而孔子的“系辞”是以四象八卦定吉凶生大业。这个差别,也体现了他们虽然是同源生,但意趣不同。老子重视个人的修道,故而灵动。孔子以悲心入世,重视国泰民安,所以方正。

所以,无论是古希腊,还是古印度,或是前秦诸子百家,他们都意识到了数字中蕴藏的奥秘。而古印度的数论派和我们智慧的老祖宗伏羲,文王,老子,孔子,则更具远见卓识,一针见血地道出了那个宇宙的最大秘密 --- 世界的源头,也是所有数字的源头:神奇的零。

2.

现在,我们回过头,再来看看当代的科学家们怎么看待这个问题?

殊途同归,他们也隐隐约约意识到了这个秘密,但却犹犹豫豫,还不敢大声说出口,因为他们还无法理解这个神奇的“零”它真正的涵义。

刚才说了,自然科学最核心的两个领域就是数学和物理学(理论物理学)。它们合起来,就是自然科学对世界源头的好奇和探索。数学是纸上谈兵,帷幄于中军帐中;物理学则是实地考察,决胜于千里之外。

理论物理学中,如今最重要的就是两朵奇葩:广义相对论和量子力学。弦论之所以能吸引这么多的目光,也是因为它有希望能将二者融为一炉。广义相对论和量子力学,一个从宏观的维度,朝着无穷大不断进军,一个从微观的角度,朝着无限小不断偷窥,却殊途同归,都来到了同一个源头:神奇的零。--- 这宇宙的奥秘,就是这么有趣!

量子力学能发展到今天,源自人们对于寻找最小物质的锲而不舍的努力。这个最小的物质,也就是世界的基础。如果世界真的存在,而不是如一些脑洞大开的大咖(比如贝克莱,王阳明)异想天开认为的那样,“只存在于我们的感知中”,那么,这个世界的基础也就是最小的物质它必须存在,哪怕以现在的技术手段根本无法测量得到。

但事实是,科学家们一次又一次感到失望。他们满心欢喜地以为分子就是世界的基础,却发现还有更小的原子。当他们欢呼原子就是世界的源头时,却又发现了更小的电子,质子.. 夸克,亚夸克.. 乃至于小到不能再小的量子.. 最后,已经连任何看得见摸得着的传统的“物质”概念都瓦解了,一头掉进了“零点能”这个玄而又玄的像虚空一样的黑洞里。

实验也一再印证了这件事。在粒子对撞机的实验中,欧洲核能物理实验室的科学家们每天都会见到一个习以为常的现象:许多粒子忽然在虚空中消失,许多新的粒子又忽然在虚空中诞生,此起彼伏;或是一个被追踪的粒子,瞬间在这个地方消失,下一瞬间在另一个地方幽灵般出现,即所谓的“量子跃迁”。

其实,科学家们大可不必如此折腾。早在古印度,中观论师们就已经明明白白一五一十地论证过了:世界的基础是最小的微尘,而最小的微尘必然是没有任何体积的零。因为,只要还有体积,就必然存在着更小的空间属性(体积),也就不是最小的。

如果世界的基础是零,那世界到底是什么?

这个匪夷所思的答案,其实早在那个虚幻的概率波刚刚问世的岁月,就已经呼之欲出了。从玻尔,海森堡和薛定谔到现在,这么多年过去了,科学家们绕着这个答案不知道转了多少圈,真相越来越清晰,但他们还是没有勇气大声说出来。他们早已朦朦胧胧意识到了面纱背后的“神秘新娘”到底是谁,却缺少勇气揭开这层最后的面纱,更多的时候,是在私下窃窃私语:原来皇帝什么衣服都没有穿呀!

这个面纱背后的“神秘新娘”到底是谁呢?-- 就是那个神奇的零。

再看广义相对论。

有了广义相对论,科学家们忽然发现,他们就像刘姥姥闯进了大观园,可以偷窥一下宇宙最古老的秘密。于是,他们发现了“Big Bang”,也就是“宇宙大爆炸”。由宇宙大爆炸的理论出发,必然要成立一个像零一样的“宇宙奇点”,它是我们这个庞大得无法想象的宇宙的源头。

科学家们原以为宇宙从奇点出发之后,就可以一路不断膨胀,再也不用回头。那样的话,“宇宙奇点”也就成了一件“遥远的事”,知道可以满足一下好奇心,不知道也照样过日子。不幸的是,科学家很快发现,原来宇宙不是不断膨胀的,相反,它有缩小的迹象。

宇宙在萎缩!几个意思?

这意味着,宇宙从奇点出发,最后又要回到奇点去。于是,另一个天文学的重量级明星诞生了:当!“黑洞”君闪亮登场!而这个神秘的“黑洞”,最神秘的,是它有一个“体积为零,却蕴含无限能量”的“黑洞奇点”。颇有些人猜测,这个“黑洞奇点”也许就是通向另一个维度或平行宇宙的“虫洞”。

就这样,在量子力学一头扎进虚空般的“零点能”的同时,殊途同归,广义相对论的宇宙也从零出发,又回到了零。-- 又是那个神奇鬼魅的,不可思议的“零”!

从广义相对论和量子力学中,还派生出一些非常新潮的理论。其中一个,便是大名鼎鼎的“多维世界”。 这个词,自打出生的那一天,便成了科幻小说的宠儿,乃至用到滥俗。最近的一个著名例子便是得了科幻小说诺贝尔奖的“三体”。但至于时空四维之外的第五维,第六维,乃至第十维,第十一维,它究竟是什么样子,我们这些可怜的三维地球人,就像爬行的小虫子无法理解人的世界一样,无论如何绞尽脑汁,也无法想象。

其实,多维世界并没有那么费脑,只是我们能跳出“空间”的概念,就不难理解。在多维世界的理论中,有一个非常核心的概念,叫做“维度的蜷缩”。什么是维度的蜷缩呢?只要举一个大家极为熟悉的身边的例子,这个高冷的概念立刻就变得平易近人。

这个例子,就是如今已经占据了我们大部分生命空间的微信“朋友圈”。

当你用手指在手机屏幕上轻轻一点,从那个几乎看不见的小图标中,就会立刻幻化出一个神奇的多姿多彩的世界。你的亲朋好友,你的喜怒哀乐,你的傲慢与偏见,你的伪装与内心,一下子都展现在眼前,让你浑然忘记了时空,忘记了周遭的人与事,一个猛子扎进去出不来。.. 这是维度的展开。

终于累了,乏了,饿到两腿发软头昏眼花了。于是,手指一点,所有这些幻化般的世界,立刻又蜷缩成一个小小的图标。然后,黑屏,揣进裤子口袋里 .. 一切就像变魔术一样:一个近乎于零的维度,瞬间展开为一个丰富无限的奇妙世界;然后又瞬间蜷缩到一个近乎于零的维度之中。

就这样,和广义相对论与量子力学这两位江湖大佬一样,“多维世界”这个物理学的小兄弟最终也一路摸黑,来到了同一个地方:神奇的零。

因而,物理学家们虽然羞于启齿,但他们的确已经来到了那个古人曾经到此一游的“世界的源头”--- 神奇的零。

(未完待续)

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1 年 6 个月 前 #3389 YHZhang
YHZhang 回复在 世界的源头:神奇的零
世界的源头:神奇的零 (中)

3.

这一章节的内容,您很容易读着读着就打瞌睡了。为了增加阅读兴趣,我们特意改用“戏说”的口吻。

前面提到,无论是古希腊的学霸毕达哥拉斯,还是古印度的禅定大咖数论派祖师,或是我们的老祖先伏羲,老子和孔子,在他们探索世界的源头时,都不约而同把目光投向了数字中的奥秘。与此同时,物理学家也一路摸黑,来到了同一个地方,那个神秘的“奇点”— 数字“零”的许许多多江湖绰号之一。

那么,科学王国的江湖盟主“数学”派,它如何看待这件江湖公案呢?其实,在数学王国的武林秘笈中,也屡屡提到一个神秘的蒙面人:“奇点”— 零。

比如,几何最简单的招式就是点,线段和圆。任何一个点,其实就是一个体积为零的“奇点”。线段也是从一个“奇点”出发,到达另一个“奇点”。而圆同样离不开“奇点”:圆心。

这么说,也许会惹起一片抗议:“奇点”岂是这么简单?但你很快就会听说,江湖中流传着一句古老的格言:“越是深奥的内容,越是会回到源头上。越是源头上的东西,也就越简单。所以,越是简单的东西,越深奥。”它的意思是:无论多么复杂的世界,多么复杂的现象,最后它都要回到那个最简单最深奥的源头上。

稍微复杂一点的“奇点”,出现在解析几何中。在数学中,解析几何地位特殊,它打通了数学的任督二脉,让代数和几何双剑合璧。那么它是如何做到的呢?

最近热播的“三生三世十里桃花”中,有一个频率特别高的新词“四海八荒”。这个词其实很古老,据说出自“山海经”。在解析几何中,就有一个纵横四海八荒的坐标轴,把代数和几何都招揽麾下。这个坐标轴的丹田穴,是一个数值为零的“原点”(横轴和纵轴的交点)。从这个“原点”出发,坐标轴得以纵横“四海八荒”。这个数值为“零”的原点,还有一个江湖绰号,叫做“奇点”。

比这更复杂的“奇点”,则藏在那些只有“雨人”那样的科学怪人才能看得懂的江湖奇书中。按照江湖传说,那些最深奥的数学难题,最后都会回到一个“奇点”,就像从船头出发的小鸟,在浩淼的湖面上盘旋了许久之后,最终都要回到船头栖息。

比如,2000年的时候,美国最著名的数学门派“克雷研究所”,曾经在江湖上发出“英雄帖”,悬赏七个一百万美金,遍邀天下高手,来破解七个最经典的江湖悬案—七道数学难题,江湖人称“千禧难题”。而这七道千禧难题的破案线索,几乎都和“奇点”有瓜葛。

比如,在这七道千禧难题中,最有名的一道题叫做“庞加莱猜想”。它是由一百多年前(1904)法国数学家庞加莱提出的,在数学江湖上通缉了整整一百年后,由俄国数学家佩雷尔曼破解。

这道题之所以闻名江湖,是因为一段典故。

在数学江湖中,佩雷尔曼是一个颇为另类的“独行客”,想法天真,性格孤僻。他独创了破解“庞加莱猜想”的剑谱(论文)之后,并没有按照江湖规矩寄给名门正派的学术期刊,而是把剑谱放在民间最大的剑谱网站上(预印本网站)。此举给此事带来了一些波折。江湖人心险恶,有觊觎者,有好事者,有浑水摸鱼者,也有路见不平者。后来的故事有几个版本,有一个版本说“令狐冲”遇到了“岳不群”,还有一个版本说小记者编造了一个大故事。真相如何,已经很难分辨。为江湖中的长者讳,这里隐去细节不谈。

总之,缺少江湖阅历的佩雷尔曼很受伤。最终,当克雷研究所带着一百万美金找到佩雷尔曼时,这个天真得近乎孩子气的数学家,虽然很需要这笔钱,却毅然拒绝了,并且一赌气退出数学江湖,梦想回到一个人的“世外桃源”。

穿插这段典故,是为了让有点烧脑的话题变得有趣一些。这里真正的重点是,在破解庞加莱猜想的剑谱中,涉及到一些无法控制走向的“奇点”。这些“奇点”,就是破解这件悬案的关键。

可见,“奇点”在数学中的江湖地位同样很高。几乎所有的江湖秘闻,最后都会追溯到它这里,追溯到那个神奇的源头:零。

再举一个例子,一个我们极其熟悉的古剑客:pi。当然,这个古剑客pi,不是必胜客的那个“苹果pie”,而是江湖中大名鼎鼎的“圆周率”。

在数学王国中,圆大概是最古老最富传奇色彩的几何图形,而所有关于圆的传说,都绕不开这位古剑客:pi。在东西方的古老文化中,pi受到极度的礼遇,几乎被捧上了神坛。无论是星相学,还是卜筮学,都可以见到它的身影。事实上,在pi扑朔迷离的身世中,的确隐藏着甚深的奥秘,一些如今的科学还无法达到的奥秘。

关于这位传奇般的古剑客pi的身世,我们知道多少呢?

首先,它是一个常数。其次,它的身价为3.14159.. .. 江湖中,流传着一首古老的打油诗:山顶一寺一壶酒.. .. 说的就是pi的身价。

关于pi的身世,还有一件秘闻:虽然它的身价从未变过,虽然几千年来人们以最大的好奇心和耐心来打探它的身价,却从没有人了解过它的真正身价是多少。--- 原因很简单:人们永远无法精确知道一个圆的周长是多少,因而永远也无法知道pi的精确值。

在古代,人们计算圆周率用的是一种最原始的办法:不断逼近。简单地说,就是在圆周上取四个点,连成一个四边形,以这个四边形的周长代替圆周,得出pi的值。

显然,这是一个极其粗暴简单的办法。但古人并没有我们想象的那么笨,事实上,他们比我们聪明得多。他们就像变魔术一样,把四个点增加到五个点,六个点 ..于是四边形瞬间变成了五边形,六边形.. 点越多,边也就越多;边越多,边长也就越短;边长越短,pi的值也就越接近真实。

那,什么时候才会得到pi的真实身价呢?遗憾的是,“无限接近真实”不等于“真实”。事实上,我们永远也不可能得到pi的真实身价,除非.. ..

除非,我们的主角“奇点”闪耀登场!

在理论上,当上述的多边形,它的边无限多,而它的边长无限缩短,最后到达一个奇点,也就是零的时候,这时候奇迹瞬间发生了:多边形和圆融为了一体,而对pi身价的评估,也就到达了一个完美的极限。

但在现实生活中,这个完美的极限只能是一个神话。所以,pi注定了是一个望不到尽头的无理数,连超级计算机也只能望着它长长的小尾巴一声叹息。守护了几千年并且无限逼近那个“奇点”,却永远无法真正一亲芳泽,这似乎就是pi和零的浪漫故事的宿命结局。

这个求pi的古老办法,迄今也没有过时。它其实就是最朴素的微积分思想。

十七世纪的欧洲,见证了近代科学的黄金时代,正是在那个经典辈出的时代,牛顿和莱布尼茨先后发明了微积分。为了争夺这一荣誉,引发了一场旷日持久的学术官司,后来甚至上升为英国和德国的外交战争。如今,我们所有的尖端科研,所有的虚拟数字世界,所有的高楼大厦和跨海大桥等等梦幻工程,以及整个的城市生活,根本离不开微积分。

而微积分的故事,其实就是一段关于“零”的爱恨情仇。

在微积分中,人们把一根长度为1的线段,无限分割,最终得到一个最小的长度,叫做微分。然后,把所有的微分黏贴起来,重新得到一个长度为1的线段。这个重新得到的长度为1的线段,就叫做“积分”,顾名思义,它是由“微分”堆积而成的。

在这个一来一回看似儿戏的举动中,人们却获得了一种窍诀,能够非常精确地测量许多以前无法测量的曲线。这个窍诀就是上面说的:无限逼近。

在微积分中,每一个微分都无限收缩于“零”。然后折返跑,从“零”出发,回到1。再次折返跑,又回到“零”。.. 在这样的无数次的折返跑中,所有弯弯曲曲,坑坑洼洼或者奇形怪状的角落如今都可以“精确”测量了。这就是微积分玩的“小魔术”。

微积分的故事再度告诉人们:“零”,也就是那个神秘莫测的“奇点”,在数学的王国中有着无法替代的江湖地位。

而神奇才刚刚开始。

把圆形换成一个立体的球形,上述求圆周率的原始方法依然有效。这时,“奇点”不再局限于圆周上的每一个点,而是拓展到球面上的每一个点。于是,传统的平面几何(欧几里得几何)被数学家族的新贵“黎曼几何”(曲面几何)取代。

黎曼几何对“奇点”(零)的依赖度double了。随之而来的是,它对微分的依赖也就double了。

黎曼几何是现代科学花园里的一朵奇葩,二十世纪初,一个还在念高中的犹太孩子对黎曼几何产生了浓厚的兴趣。几年以后,这个犹太孩子从黎曼几何出发,推演出了伟大的狭义相对论和广义相对论。---读到这里,已经头昏脑涨的你,一定会眼睛一亮:终于见到一个熟面孔了!是的,这个犹太孩子就是艾尔伯特.爱因斯坦。

然而,pi和零的浪漫故事远远没有结束。事实上,它们的浪漫故事在好几个不同的领域中同时展开,跨越了好几个世纪,简直称得上是“三生三世十里桃花”。

早在微积分诞生的时候,就留下了一桩奇案,至今含冤未雪,叫做“贝克莱悖论”。这件奇案的主角,就是神秘莫测的数字“零”。虽说,这是微积分家族的家事,但深知圆周率和微积分渊源的人都知道,这其实就是pi和零的另一段浪漫故事。将来有一天,这桩旧案陈冤得雪,届时,科学界将会发生一场大地震,整个数学史和科学史都要重写。伴随而来的,会是另一次科学发现大井喷的黄金时代。-- 但这是后话,这里暂且不表。

这里要说的,是另一件pi和零的浪漫往事。

在1900年,数学家们开了一个国际数学大会。这届数学大会充满了浪漫和乐观的气氛。它的一个重要议题,就是确立“康德尔集合”的历史地位。在这次数学大会上,数学家们宣称,由于“康德尔集合”的出现,数学大厦完美的逻辑性和严密性终于达成。

这个康德尔集合到底有多重要呢?

短短三年之后,罗素提出“理发师悖论”,给了康德尔集合致命一击。顿时,数学界一片哀鸿。当时的数学界泰斗戴德金,刚刚完稿他人生中最重要的一部著作,正准备出版,因为康德尔集合出现了致命弱点,不得不放弃这部心血之作。

不仅如此,数学家们发现,他们已经完全离不开这个既爱又恨的“康德尔集合”,因为他们所有的重要成就都是建立在这个地基上。万般无奈,数学家们只能当起了“泥瓦匠”,在康德尔集合这个已经破碎的地基上修修补补,勉强混一个生计。

那么,这个“康德尔集合”,它和我们今晚的神秘嘉宾“奇点”(零)有什么关系呢?

故事是这样的:

“康德尔集合”最初的灵感来自一个早在古希腊就被留意到的奇特现象:同心圆的“一一对应”。

从同一个圆心出发,我们可以得到无数个不同大小的同心圆。有趣的是,这些同心圆的圆周,明明不一样大,却有着相同数量的点,并且彼此一一对应。

这么说,也许有点难理解。让我们换一个说法:从圆心出发画一条直线,可以穿过所有同心圆的圆周。不断重复这个简单的动作,从圆心出发的无数直线,可以覆盖所有同心圆上的所有点,却不会重复。然后,奇迹出现了!我们发现了一件奇怪的事:在外围的大圆和里面的小圆之间,它们圆周上的点竟然可以一一对应,一个点也不会遗漏,一个点也不会重复!

这意味着什么呢?是的,大圆和小圆,有着同样数量的点!

从这个神奇的现象出发,康德尔进一步发现,一条直线上的点和一个平面上的点,同样构成“一一对应”关系。换句话说,一条直线和一个平面有着同样数量的点!

不仅如此,当你不断拓展思维,在不同维度之间,都可以构建一一对应的关系。也就是说,一条直线,一个平面,一个三维体,乃至一个多维世界,它们有着同样多的点!

这真是一件咄咄怪事。而如此辉煌的康德尔集合,就建立在这件咄咄怪事之上。藏在这件咄咄怪事身后的,正是那个神秘莫测的“奇点”(零)。

当你打破习惯思维的局限性,把圆心也视作一个圆,一个最小的同心圆,于是,一切奥秘都昭然若揭。这时候,pi的值突然坍塌,从3.141589..秒变为0. --- 在经历了几千年的爱情长跑后,pi和0有情人终成眷属。

然而,这次“私奔”要得到科学界的家长们承认,还需要一些时日。所以,我们把目光暂且投向另一件关于“奇点”的绯闻。

上面提到,康德尔从同心圆出发,发现一个奇特的现象:不同维度的世界之间,存在着“一一对应”的关系。但康德尔唯独遗漏了一维世界。

什么是一维世界呢?就是一个体积为“零”的“奇点”。你可以称它为“1”,而它的真实身份是“0”。

既然圆心就是最小的圆,那么,同样,一个点也可以视作一个独立而完整的最小世界。于是,我们发现了一条藏在我们眼皮底下的重要线索:无论是一个二维的平面,还是一个三维的立体,或是一个多维的世界,都是从这个一维的“奇点”出发,最后又回到这个“奇点”。

这一幕幕是否似曾相识?

没错,在宇宙大爆炸的理论中,我们的宇宙从宇宙奇点出发,不断向外膨胀;然后又不断收缩,最后回到一个黑洞奇点中。这幅宏伟的宇宙图景,稍加抽象,便成了圆心和同心圆的传奇故事,连一个字都不用修改。

考虑到数学和物理学的本质:数学是物理学的逻辑抽象,物理学是数学的“实验室”;我们不妨脑洞一下:同心圆现象,就是Big Bang(宇宙大爆炸)的数学模型;而同心圆的圆心,就是那个人们一直在寻找的宇宙奇点和黑洞奇点。

让我们的脑洞开得再大一点,我们又得到了更奇幻更新潮的理论:多维世界和维度的蜷缩 .. 一切就像那个同样神奇的微信朋友圈:手指轻轻一点,从一个蜷缩的图标中,瞬间展现出一个五彩斑斓海天阔地的世界,让我们沉浸其中,浑然忘了真实世界和虚拟世界的界限。手指再轻轻一点,所有的一切瞬间又蜷缩为一个小小的图标。然后,黑屏,装进裤子口袋里。那么精彩的大世界,就被我们装在裤子口袋里,带着到处跑。

我们不得不感叹古人的智慧。他们虽然没有高科技,却早已一针见血地指出:道生一,一生二,二生三,三生万物。换句话说:世界的源头,就是那个神奇的“零”。

在这个章节的末尾,我们有必要重新关注一下“微分”。

微分有多重要呢?整个世界的基础,就是这个微分。这一点实在不难理解:支撑这个世界的真实性的,是两样东西,时间和空间。而无论时间抑或是空间,都是由无数微分累积而成的(无数最小的体积,和无数最小的微秒)。

如果说世界就像一个复杂的大数据,那么世界的基础就是1。而微分就是这个1。

但这个“1”究竟是多少呢?在数学王国,这件事绝对是“皇帝的新装”,是一个不能说出口的禁忌。而今天,我们就要掀开它的神秘面纱看一眼!

为了符合圆满的数学思维,我给大家出一道著名的数学题:1- 9/9=?

没错,答案很简单:1- 9/9=1-1=0

但是,事情并没有那么简单,否则,美国的网站上就不会为此争吵了几十年,甚至惊动了许多著名的新闻媒体。而直到今天,它还是一件悬案。不信的话,请你再回答一下这几道题:
1/9=?.. 答:1/9=0.111.. .
2/9呢?.. 答:2/9=0.222.. .
那么,9/9=?.. 呃,似乎应该是0.999 .. .
那么1-0.999.. 是多少?
呃,这个.. ..
答案有两个:一个答案是零。另一个答案,就是那个自带主角光环的微分。

所以.. 篇幅缘故,我们这里就展开讨论了,直接说出那个颇具争议又引人深思的结论:世界的基础是微分,而微分=0。So, 世界是零。

但这样说,怕有些人一下子难以适应,所以我修正一下:世界的基础是1;1的江湖绰号是微分;微分的真实身份是零。So, 数学再一次告诉我们:世界的基础是1,而世界的真正源头是“零”。

(p.s. 数学家们之所以像“皇帝的新装”中的那些大臣,不敢说出这个事实,是因为他们实在无法理解一件事:如果微分=0,那我们的世界当下就是一堆零堆积起来的。再多的零堆积起来,还是零。所以,我们的世界,当下就是一个零。这个真相简直比世界的源头是“零”更为恐怖。如此多姿多彩的世界,当下就是一个“零”,这怎么可能?.. 然而,一切皆不存在之中,一切皆有可能。就像在梦中,我们可以梦见如此千奇百怪的世界,一切都看似那么真实,可其实除了幻觉什么都没有。如梦如幻,虽然不存在,却可以幻化出无数的幻觉,这就是神奇的“零”的奥秘。慧灯讲坛,带您一步步走进这个奥秘。)

(未完待续)

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